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20152016学年海淀初三上学期期中
本题是去年海淀初三期中统考数学试卷的压轴题。
海淀区初三每年都会进行全区统考，并对分数进行大排名，考生据此可知自己排名定位，并制定后续备考复习计划。海淀区的初三一共四次统考，这是第一次，其意义不言自喻。
虽然还没有结束初中数学的全部内容，也没有开始全面的压轴题复习，但是，根据以往的命题情况，可知在这次统考中，作为最后一题的压轴题，命题角度已经贴近中考真实情况。
压轴题的备考，不建议通过数量上的多，换取能力上的强，事实上，这基本上也是不现实的。能够采取的切实可行的备考策略就是——解剖一只麻雀——扎扎实实先把海淀区的统考试题中的压轴题弄明白。
同时，很遗憾的告诉诸位同学，并不是每一位考生都适合进行压轴题的备考。因为，在很多时候，根据你的中考目标，你需要做的仅仅是——比别的学生错的少，而不是比别的学生会的多。
本题的详细内容，可以参考《北京中考数学压轴题解题方法突破（第一版）》一书，这是北京中考生的福利。本书第二版也在出版的路上，由北京四中范兴亚博士与我共同编写，西城区教研员黄婉华老师做序。
在平面直角坐标系xOy中，半径为1的⊙O与x轴负半轴交于点A，点M在⊙O上，将点M绕点A顺时针旋转60°得到点Q.点N为x轴上一动点（N不与A重合），将点M绕点N顺时针旋转60°得到点P.PQ与x轴所夹锐角为α.
（1）如图1，若点M的横坐标为0.5，点N与点O重合，则α=___°；
（2）若点M、点Q的位置如图2所示，请在x轴上任取一点N，画出直线PQ，并求α的度数；
（3）当直线PQ与⊙O相切时，点M的坐标为_____.
读题的过程是“题目信息”与“解题经验”相互寻找对应关系的过程．
（1）（2）涉及到旋转60°，应该有等边三角形，还会有“手拉手”模型．
这些是解题经验，不应该感到陌生．
（3）相切问题，初中阶段圆的核心问题之一就是垂直问题，要在（2）问分析的基础之上进行．
分析，是本书鲜明的特色．知其然，知其所以然，何以然，以何然．
（1）问，送分题，点M的横坐标为0.5，过点M作垂线，运用30°直角三角形性质可解。
（2）问，此类题目的重要组成部分，“承上启下”。目测α为60°，大胆假设小心求证。
第一步，需要首先在x轴上任取一点N，连接MN，旋转60°NP，画出直线PQ。连接必要线段可知，△MAQ和△MNP均为等边三角形。
第二步，需要寻找全等三角形，这是北京市中考的重要内容之一，“历久弥新”。根据总结的基本旋转模型，易得△MAN≌△MQP.
第三步，角度推导，北京中考的重点也是难点，更是考生的痛点。具体到本题，难度并不是很大，根据“8字型”不难得到正确答案。具体过程参见答案。
（3）问，是本卷的难度最大的一问。要充分利用（2）的结论——先作倾斜角为60°的切线PQ。
思路：作切线PQ，确定点Q位置，连接AQ，进而确定AM，确定点M位置。
作图示等边△AOG，点G为圆上一点。依据题意，AM旋转60°至AQ，则△AOM旋转60°至△AGQ，可知点O旋转至点G，OG∥PQ。下边分析点M位置。
OM=GQ=半径长，如图所示OG⊥PQ，且OG=半径长，必然有GQ⊥PQ，
至此，点Q具体位置确定。下边确定点M坐标。
∠AGQ=∠AGO+∠OGQ=°，则∠AOM=°，∠MOF=30°，可得。
另外，在圆的另一侧，作另一条倾斜角为60°的直线，作等边△AOG，仿上边解法，同理可得∠AOM=∠AGQ=30°，可得点M坐标。
简洁，严谨，规范．这是书写标准答案需要注意的．
跳舞要踩到点上，书写也要写在点上，采分点．
因此，看标准答案，不仅要看思路，更要看哪些是采分点．
标准答案，这里地方小，就不写了．
解题不单单是为了找到答案，应当学会这样一种对待习题的态度，即：把习题看做是精密研究的对象，而把解答习题看做是设计和发明的目标．学解题“不开窍”的一个基本原因是，“获得答案”之后没有继续暴露数学解题的思维过程．
1.本题虽不是新定义类题目，但是在思维方式上的运用与北京中考的压轴题也颇为相似，故作为新定义题目对待。坐标系与圆的综合题目，近几年“出镜率”颇高，绝对是北京中考最为鲜明的特色。
2.等边三角形“手拉手”是基本的旋转模型。要重视（2）问标准答案分值分配情况。角度推导是考生的痛点，北京中考试题喜欢在这个痛点上“撒点盐”。
3.本题的最后一问，采用了严谨的逻辑推理进行分析。然而，数学思维并不必都是严谨的逻辑思维，除此之外还有直觉思维，数学直觉就是对于包括数学对象在内的和谐与关系的直观洞察，对于直觉的重要性，数学家庞加莱说：
“没有直觉，年轻人在理解数学时便无从招手；他们不可能学会热爱它，他们从中看到的只是空洞的玩弄辞藻的争论；尤其是，没有直觉，他们永远也不会应用数学的能力，……如果直觉是对学生有用的，那么对有创造性的科学家来说，它更是须臾不可或缺的。”
“其成功之大小取决于这种直觉在他们身上发展的程度大小。”
在本题最后一问的解答中，如果利用（1）（2）的结论，凭借“直觉”，判断点M与切点关于x轴对称，结合图形便可得到最佳的解法，尤其是对于“直接写出答案”这一类考题。
数学王子高斯说，他的数学发现主要来自经验，“证明只是补形的手续”。这正如庞加莱所说的“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”
徐利志教授认为，数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。
这或许是“直接写出答案”这一类考试题目的最佳“背书”吧。
END
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北京中考数学压轴题解题方法突破
内容简介
本书是北京市第一本运用解题理论、采用“编年体”形式对中考数学压轴题进行深入解析的专业书籍。
对于中考解答题中的几何综合题、新定义类型综合题、代数综合题，以及操作与实践、推理与探究等以“生成性资源”为背景的解答题，选用最能反映命题趋势的经典试题，进行深入解析，注重解题经验的传授与解题能力的提升，帮助考生养成科学的数学思维习惯。同时以微专题的形式兼顾选择题和填空题中的压轴题。
本书可作为初中生中考冲刺用书，亦可作为中学教师和教育界相关人士研究北京中考压轴题的参考书籍。
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